Função de Sobrevivência

Nos estudos de sobrevivência, um dos principais interesses está na sobrevida, ou no tempo de vida adicional de um dado indivíduo. Seja $T$ a variável aleatória positiva, que indica o tempo de vida adicional de uma pessoa qualquer . Então a função de sobrevivência corresponde a probabilidade de que essa pessoa ultrapasse um tempo pré determinado $t$. Ou seja:

\[ S(t) = P(T > t) \]
Em contrapartida o complementar a função sobrevivência é a função acumulada, que nesse contexto indica a probabilidade que a morte ocorra antes de $t$ , ou seja, $F(t) = 1 − S(t)$.
Como exemplo em um estudo médico onde o evento de interesse é a morte, a função de sobrevivência fornece a probabilidade de um indivíduo de idade $x$ sobreviver a $x+t$.

A função de sobrevivência é uma função não crescente tal que $S(0)=1$ e $\lim_{t\rightarrow \infty} S(t)=0$. A notação utilizada para função de sobrevivência é variada, aparecendo na litaratura como $S(t)$ , $\bar{F}(t)$ ou $_xp_t$.

Função Sobrevivência

Considere um indivíduo recém-nascido, $x=0$. A sobrevida, $T_x$, é uma variável aleatória do tipo contínua, Então $F_{T}(t)$ representa a função de distribuição de $T$ tal que

\[ F_{T}(t) = P (T ≤ t ) \text{, }t ≥0 \] e seja

\[S(t) = 1 − F(t) = P(T > t ) \text{, } t ≥ 0 \]

Já a idade desse mesmo indivíduo após ter atingido $x$ anos pode ser calculada por $S_{T_x}(t)=P(T>x+t|T>x)$, assim

\[ S_{T_x}(t)=P(T>x+t|T>x)=\frac{S(t+x)}{S(x)} \]

Abaixo um exemplo de função de sobrevivência moldando uma coorte hipotética de 100.000 indivíduos através das probabilidades de sobrevivência e morte da população brasileira para 4 anos distindos (1998, 2004,2008 e 2012).

Fonte: Elaboração própria

Observe que a função se inicia num determinado momento no tempo, com 100% da população ainda viva e com saúde e nos permite calcular qual a porcentagem dessa população ainda viva e com saúde noutros momentos ao longo do tempo.

A função de sobrevivência pode ser feita através da tábua de vida, tomaremos como exemplo 5 anos de uma coorte hipotética de 100000 habitantes cuja probabilidade de morte é dada por $n q_x=F{T_x}(n) $ . A função $S_{T_x}(t)$ calcula a probabilidadede um individuo de idade $x$ sobreviver até a idade $x+1$.

$X$	$\text{ }_1q_x$	$l_x$	$S_{T_x}(1)$
0	0,01260	100000	1
1	0,00093	98740	0,9874
2	0,00065	98648	0,9865
3	0,00050	98584	0,9858
4	0,00040	98535	0,9854
5	0,00037	98496	0,9850
6	…	…	…

Tomemos como exemplo o segundo ano, se esperamos que $0,00065$ da coorte morram antes de completar $3$ anos uma vez que $98648$ indivíduos estão vivos, calculamos: $0,00065.98648 = 641212$ (são os indivíduos da coorte que sobreviveram até $2$ anos mas morrem antes de completar $3$), $98648 – 641212 = 98584$ (são os que chegaram vivos ao terceiro ano, sendo então $98584/100000$ a probabilidade de um indivíduo que desta corte chegar vivo ao terceiro ano.

Referências

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